2a[n]-n-1=a[n-1] 【1】
待定系数:
2(a[n]+xn+y)=a[n-1]+x(n-1)+y 【2】
将【1】式a[n-1]代入上式:(注意:也可变换后用a[n]代入上式,看方便确定)
2(a[n]+xn+y)=(2a[n]-n-1)+x(n-1)+y
2a[n]+2xn+2y=2a[n]-n-1+xn-x+y
2xn+2y=-n-1+xn-x+y 【a】
比较n的系数:2x=-1+x 【3】
比较常数:2y=-1-x+y 【4】
由【3】、【4】解得:x=-1,y=0
代入【2】式,得:
2(a[n]-n)=a[n-1]-(n-1)
讨论(1):为什么待定系数时,要设个y?
因为【1】式里有常数项,尽管最后y=0,似乎实际并没有用到.
虽然对于本题y不设也可以解出,但可以看到【4】变为:0=-1-x,
正好和【3】式解出的结果x=-1不矛盾,如果矛盾就必须借助y,
所以为了保险,也为了解法统一,碰到有常数项时,也对应给个待定系数比较好.
讨论(2):你怎么会求出x=-(n+1)?
根据你的做法,估计没有设y,那么上面的【a】式就变为:
2xn=-n-1+xn-x
这时我们应该比较对应未知量的系数,包括常数项,而不是解关于x的方程,
况且,即使解关于x的方程,也不会得到:x=-(n+1).
为了便于你校对,把不设y的过程简列如下:
∵2a[n]-n-1=a[n-1]
∴2(a[n]+xn)=a[n-1]+x(n-1)
2(a[n]+xn)=(2a[n]-n-1)+x(n-1)
2a[n]+2xn=2a[n]-n-1+xn-x
2xn=-n-1+xn-x
比较n的系数:2x=-1+x
比较常数:0=-1-x
上面两式都解得:x=-1,不矛盾
∴2(a[n]-n)=a[n-1]-(n-1)