已知向量 m=(a+c,b) n=(a-c,b-a) 且向量m·n=0,其中A,B,C是三角形ABC的内角,a,b,c分别是角A,_数学解答

已知向量 m=(a+c,b) n=(a-c,b-a) 且向量m·n=0,其中A,B,C是三角形ABC的内角,a,b,c分别是角A,B,C的对边.
求角C的大小
求sinA+sinB的最大值

人气：373 ℃　时间：2020-02-04 15:00:48

解答

向量m*向量n=(a+c)(a-c)+b(b-a)=a²-c²+b²-ab=0,那么a²+b²-c²=ab
(1) cosC=(a²+b²-c²)/2ab=ab/2ab=1/2,所以C=60°
(2) sinA+sinB=sinA+sin(120°-A)
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=3/2*sinA+√3/2*cosA
=√3*(√3/2*sinA+1/2*cosA)
=√3*sin(A+30°)
≤√3 (此时A+30°=90°,即A=60°)
所以sinA+sinB的最大值为√3,当且仅当A=B=60°时取等