【证明】：
【充分性】：
若{an}是等比数列,设公比为q,且单调递增,则
a(n+1)>an
即a1*(1-q^n)/(1-q)>a1*(1-q^(n-1))/(1-q)
a1*[q^n-q^(n-1)](1-q)<0
首先讨论的是恒成立,所以公比不能为负,否则正负相间的数不可能恒成立的,
若a1>0,则q∈(1,+∞)
∴自然有a1若a1<0,则q∈(0,1)
∴也有a1【必要性】:
若{an}是等比数列,设公比为q,且a1公比必为正,否则不可能有连续三项均满足递增关系,
若q∈(0,1),
当an>0时,则q=a2/a1>1矛盾,
当an<0时,则q=a2/a1<1,成立,此时此数列为负值递增数列,
若q∈(1,+∞),
当an<0时,q=a2/a1<1矛盾,
当an>0时,q=a2/a1>1,成立,此时数列为正项递增数列.
得证!