n=1时,显然成立
设Sn=n*2^(n-1)时成立
当取n+1时,所有集合包括三种
1、n时的所有集合,Sn1=Sn
2、n时的所有集合每一个里面增加一个（n+1）,一共2^n-1个,Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn
3、集合{n+1},Sn3=n+1
Sn+1=Sn1+Sn2+Sn3
=Sn+2^（n-1）*（n+1）-Sn+n+1
=（2^n-1）*（n+1）+n+1
=2^n（n+1）
得证2、n时的所有集合每一个里面增加一个（n+1），一共2^n-1个，Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn

"一共2^n-1个"，Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn
什么意思我以n=2、3为例说明一下Sn和S（n+1）之间的推导关系
首先，要知道元素个数为n的集合的非空子集个数为2^n-1个，这是一个基本知识点。

以n=2为例，其非空子集个数为2^2-1个3个
即{1}，{2}，{1, 2}

当n=3时，其非空子集包括三个类型
1、n=2的子集{1}，{2}，{1, 2}，其“交替和”Sn与n=2时的Sn一样
2、n=2的子集中加上3，{1，3}，{2，3}，{1, 2，3}，其“交替和”Sn=3*3-n=2时的Sn，因为每个子集中的元素1、2位置都向后挪了一个位置，所以其符号都变了，比如{1、2}的Sn是2-1，当增加一个元素3，{1, 2，3}的Sn是3-2+1=3-（2-1）.也就是说每个含有3的集合的Sn=3-（不含有3的Sn）.
这步是关键，也是难点所在。文字说明不容易，希望你能体会其中奥妙
3、{3}，Sn=3