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数学
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已知F
1
、F
2
分别是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点O为圆心,OF
1
为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当△PF
1
F
2
的面积等于a
2
时,双曲线的离心率为( )
A.
2
B.
3
C.
6
2
D. 2
人气:184 ℃ 时间:2019-08-22 00:29:25
解答
设F
1
F
2
=2c,由题意知△F
1
F
2
P是直角三角形,
∴F
1
P
2
+F
2
P
2
=F
1
F
2
2
,
又根据曲线的定义得:
F
1
P-F
2
P=2a,
平方得:F
1
P
2
+F
2
P
2
-2F
1
P×F
2
P=4a
2
从而得出F
1
F
2
2
-2F
1
P×F
2
P=4a
2
∴F
1
P×F
2
P=2(c
2
-a
2
)
又当△PF
1
F
2
的面积等于a
2
即
1
2
F
1
P×F
2
P=a
2
2(c
2
-a
2
)=a
2
∴c=
2
a,
∴双曲线的离心率e=
c
a
=
2
.
故选A.
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