如果是非常直观的理解的话,正定矩阵是正数的一种推广,它的局部也应该具有某种正的特征,行列式自然也应该是正的才比较合理.
如果稍微精细一点,把A划分成
A11 A12
A21 A22
取相应分块的非零向量x=[u^H 0]^H作用到A上就得到x^H A x = u^H A11 u >0,说明了A11这个主子阵也是正定的,再用合同变换及惯性定理就能说明det(A11)>0.