正态分布X1,X2,X3........Xn(n>1)的联合概率密度是正态分布,那么这个正态分布就是n维正态分布。
不相关只能推出EXy=EX*EY,不能得到f(xy)=f(x)f(y),所以应该需要独立吧,我看到的考研参考书和教材都说是要独立的。(我的参考书是北京领航强化班讲义)
因为X,Y不相关可以得到结论:D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)。
切比雪夫不等式对于任意Ex,Dx存在,都有:P{|X-EX|<ε}≥1-Dx/ε^2,
所以当X1,X2........Xn两两不相关时,(记Y=ΣXi/n)EY=EXi,DY=D(ΣXi/n)=(1/n^2)*D(ΣXi)=(1/n^2)*ΣD(Xi),令任意DXi≤M,则有DY≤M/n。
所以根据切比雪夫不等式:P{|Y-EY|<ε}≥1-(DY/n)/ε^2,当n→+∞时,(DY/n)/ε^2→0,即P{|Y-EY|<ε}≥1,又因为概率恒小于等于1,所以P{|Y-EY|<ε}=1.
【总结】:关键是用到不相关时相关系数等于零;如果相关系数不等于零,那么得不到DY=(1/n^2)*ΣD(Xi),此时n→+∞,DY不一定趋于0,所以切比雪夫大数定律就不一定成立了。