∵一次函数y=（3m-1）x-m，函数y随x的增大而减小，
∴3m-1＜0，即m＜

1

3

；
∵函数图象不经过第一象限，
∴-m≤0，即m≥0，
∴0≤m＜

1

3

．
故选C．