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已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点,则k的最大值为______.
人气:165 ℃ 时间:2020-04-03 13:06:56
解答
若k≤0,则满足条件,
当k>0,直线y=kx与y=lnx相切时,此时k取得最大值.
设切点为(a,b),
则函数的导数为f′(x)=
1
x

即切线斜率k=f′(a)=
1
a

则切线方程为y-b=
1
a
(x-a)=
1
a
x-1,
即y=
1
a
x+b-1=
1
a
x+lna-1,
∵y=kx是切线,
k=
1
a
lna−1=0
,解得a=e,k=
1
e

若直线y=kx与曲线y=lnx有公共点,
则k≤
1
e

即k的最大值为
1
e

故答案为:
1
e
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