∵y=

(x+2)(x+3)

x+1

=（x+1）+

2

x+1

+3，
∵x≥1，
∴x+1≥2，又双钩函数y=x+

2

x

在[2，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，函数y=

(x+2)(x+3)

x+1

取到最小值，
∴y_min=6．
故答案为：6．