在平面直角坐标系xoy中,已知以O为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共点,且要求使圆o的面积最小（1）求证_数学解答

在平面直角坐标系xoy中,已知以O为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共点,且要求使圆o的面积最小
（1）求证直线l过定点,并求定点坐标；
（2）写圆O的方程
（3）圆O与x轴相交于A,B两点,圆内动点P使向量PO的平方=|向量PA|·|向量PB|,求向量PA·向量PB的取值范围.
主要是第三问

人气：117 ℃　时间：2020-04-07 20:13:23

解答

1）直线方程化为 y=m(x-4)+3 ,因此恒过（4,3）.
2）因为圆O面积最小,因此点（4,3）在圆上.
因此圆O的方程为 x^2+y^2=4^2+3^2=25 .第三问令 y=0 得 A（-5，0），B（5，0）。设P（x，y），则 PA=（-5-x，-y），PB=（5-x，-y），由已知 x^2+y^2=√[(-5-x)^2+(-y)^2]*√[(5-x)^2+(-y)^2] ，所以x^2+y^2=√[(x^2+y^2+25)^2-(10x)^2] ，化简得 50(x^2+y^2)-100x^2+625=0 ，即 x^2-y^2=25/2 。它是双曲线在圆内的部分。PA*PB=(-5-x，-y)*(5-x，-y)=x^2+y^2-25=2y^2-25/2 ，由 x^2+y^2=25 ，x^2-y^2=25/2 得 y^2=25/4 ，所以，由 0<=y^2<=25/4 得 PA*PB 取值范围是【-25/2 ，0】