（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．
（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴

AB

BC

＝

AM

CH

由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF=

4

5

BE，BF=

3

5

BE，GE=

4

5

EC，GC=

3

5

CE，
所以，△BEF的周长是

12

5

BE，△ECG的周长是

12

5

CE，
又BE+CE=10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．
（3）设BE=x，则EF=

4

5

x，GC=

3

5

（10-x），
所以y=

1

2

EF•DG=

1

2

•

4

5

x[

3

5

（10-x）+5]=-

6

25

x²+

22

5

x，
配方得：y=-

6

25

（x-

55

6

）²+

121

6

．
所以，当x=

55

6

时，y有最大值．
最大值为

121

6

．