设t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，则t∈[-

2

，

2

]．
由（sinx+cosx）²=t²⇒sinxcosx=

t2-1

2

．
∴y=1+t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²．
∴y_max=

1

2

（

2

+1）²=

3+2 2

2

，y_min=0．
∴值域为[0，

3+2 2

2

]．