根据已知条件可设该多边形内角为a,则有6a/5=180,可得a=150度；根据正多边形边与内角和的关系设该多边形边数为x,则该多边形内角和为（x-2)*180=150x,可得x=12,所以存在这样一个多边形即正十二边形,符合它的外角都等于相邻内角的五分之一.