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数学
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已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0.
(1)求证:函数f(x)在(-∞,0)上是增函数;
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
人气:371 ℃ 时间:2019-11-16 12:15:20
解答
(1)证明:设x
1
,x
2
∈(-∞,0),且x
1
<x
2
,则有-x
1
>-x
2
>0,
∵f(x)是[0,+∞)上的增函数∴f(-x
1
)>f(-x
2
)
又∵f(x)为R上的奇函数,∴-f(x
1
)>-f(x
2
),即f(x
1
)<f(x
2
).
故f(x)是(-∞,0)上的单调增函数;
(2)x>0时,f(x)<f(1),∴x<1,∴0<x<1;
x<0时,f(x)<f(-1),∴x<-1,∴x<-1,
∴不等式f(x)<0的解集为{x|0<x<1或x<-1}.
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