嗯？是的，你说得对！是我搞错了。那这样的话问题就有变化。
t>0表示f(x)为开口向上的二次函数，f(x)的对称轴为x=-t
当t≥1时，对称轴x=-t≤-1，则区间[-1，1]上函数单调增，h(t)=f(-1)=-2t^2+2t-1
当0<t≤1时，对称轴-1<x=-t<0，则区间[-1，1]上函数无单调性，最小值在顶点处取得，即h(t)=f(t)=3t^3+t-1
对于补充问题
令g(t)=-2t+m^2+4m，显然g(t)为减函数。以下分区间讨论
当0<t≤1时，有h(t)=3t^3+t-1，因h'(t)=9t^2+1>0，说明h(t)在区间0<t≤1上为增函数，
于是h(t)max=h(1)=10。而g(t)在区间0<t≤1上为减函数，有g(t)mim=g(1)=m^2+4m-2。
由于h(t)≤h(t)max，g(t)≥g(t)mim，要使h(t)<g(t)，只要h(t)max<g(t)mim，于是有
10<m^2+4m-2，解此不等式得m的取值。略
当1≤t≤2时，有h(t)=-2t^2+2t-1，因h(t)开口向下且对称轴t=1/2，显然h(t)在区间1≤t≤2上为减函数，于是h(t)max=h(1)=-1。而g(t)在区间1≤t≤2上有g(t)mim=g(2)=m^2+4m-4。同上理有：
-1<m^2+4m-4，解此不等式得m的取值。略
将上面两项m的取值范围取并集，即得所求