这里可以利用对称幂等矩阵的性质证明半正定吗?n阶方阵A=Px-(n+1)/n diag(Px),B=Px-diag(Px),C=I_数学解答

这里可以利用对称幂等矩阵的性质证明半正定吗?
n阶方阵A=Px-(n+1)/n diag(Px),B=Px-diag(Px),C=I-Px [I为n阶单位矩阵],其中Px=X(X'X)^-1X',X为某个n*K的满列秩矩阵.请问A-C和B+C是否为半正定矩阵?

人气：122 ℃　时间：2020-02-03 09:47:18

解答

假定你这里diag(M)表示的是与M对角元相同的对角阵
那么A-C显然是无法保证的,比如n=k=X=1,A=-1,B=C=0
对于B+C=I-diag(Px),由于Px半正定且特征值只有0和1,所以它的对角元都不超过1,B+C确实半正定用λmin和λmax表示实对称矩阵M的极端特征值, 那么对任何非零向量x, 总有λmin <= x^TMx / (x^Tx) <= λmax这里把x取成单位阵的第k列即得Px的第k个对角元介于0,1之间.当然, 不可能进一步推出Px的对角元只取0或1.