解；焦点F坐标（

p

2

，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-

p

2

）
联立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
由韦达定理得x₁+x₂=p+

2p

k2

|AB|=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

=2p（1+

1

k2

）
因为k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故选C