X,Y是相互正交的n维列向量,证明E加上(X乘上Y的转置)可逆.设A=XYT 则A的平方等于(XYT)(XYT)
接上面 等于X(YTX)YT等于0,于是A的特征值全部都是0 为什么就都是0了捏!
人气:250 ℃ 时间:2020-05-01 19:09:18
解答
∵X和Y正交
∴(Y^T)X=0 .注:这个0是数字不是矩阵,∵Y^T是1行n列,X是n行1列,相乘是1行1列
∴A²=[X(Y^T)][X(Y^T)]=X[(Y^T)X]Y^T=0X(Y^T)=0 .注:这个0是n阶矩阵
也就是说A²是n阶0矩阵,它的秩为0,特征值也都为0
如果你不理解为什么秩为0特征值就全0,那么用|A²-λE|=(-λ)^n=0,∴λ=0(n重根)
那么A的特征值也全0,E-A的特征值全1,|E-A|=1,故可逆
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