在长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,底面ABCD是边长为
的正方形,侧棱长为
,E、F分别是AB
1、CB
1的中点,求证:平面D
1EF⊥平面AB
1C.
人气:438 ℃ 时间:2019-11-09 21:27:17
解答

证明:如图,∵E、F分别是AB
1、CB
1的中点,
∴EF∥AC.
∵AB
1=CB
1,
O为AC的中点,
∴B
1O⊥AC.
故B
1O⊥EF.
在Rt△B
1BO中,∵BB
1=
,BO=1,
∴∠BB
1O=30°.从而∠OB
1D
1=60°,又B
1D
1=2,B
1O
1=
OB
1=1(O
1为B
1O与EF的交点).
∴△D
1B
1O
1是直角三角形,即B
1O⊥D
1O
1.
∴B
1O⊥平面D
1EF.又B
1O⊂平面ACB
1,
∴平面D
1EF⊥平面AB
1C.
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