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数学
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已知曲线C:x
2
+y
2
-2x-4y+m=0.
(1)当m为何值时,曲线C表示圆;
(2)若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
人气:389 ℃ 时间:2019-10-17 04:23:14
解答
(1)由D
2
+E
2
-4F=4+16-4m=20-4m>0,解得m<5; (4分)
(2)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
联立直线x+2y-4=0与圆的方程x
2
+y
2
-2x-4y+m=0,
消去y,得:5x
2
-8x+4m-16=0,
由韦达定理得:
x
1
+
x
2
=
8
5
①,
x
1
•
x
2
=
4m−16
5
②,
又由x+2y-4=0得
y=
1
2
(4−x)
,
由OM⊥ON得x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
∴
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
1
4
(4−
x
1
)•(4−
x
2
)=
5
4
x
1
x
2
−(
x
1
+
x
2
)+4=0
,
将①、②代入上式得
m=
8
5
,
检验知满足△>0,故
m=
8
5
为所求. (13分)
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