必要性:
若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.