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求经过A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的方程.
(I)求出圆的标准方程;
(II)求出(I)中的圆与直线3x+4y=0相交的弦长AB.
人气:174 ℃ 时间:2020-05-20 23:06:55
解答
(I)因为圆心C在直线y=-2x上,可设圆心为C(a,-2a).
则点C到直线x+y=1的距离d′=
|a−2a−1|
2
=
|a+1|
2

据题意,d′=|AC|,则
|a+1|
2
=(a-2)2+(-2a+1)2
∴a2-2a+1=0
∴a=1.
∴圆心为C(1,-2),半径r=d=2,
∴所求圆的方程是(x-1)2+( y+2)2=2 
 (II) 圆心(1,-2)到直线3x+4y=0的距离d=
|3−8|
5
=1
,半径r=
2

故弦长为|AB|=2
r2d2
=2,
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