求经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程．（I）求出圆的标准方程；（II）求出（I）中的圆与_数学解答

求经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程．
（I）求出圆的标准方程；
（II）求出（I）中的圆与直线3x+4y=0相交的弦长AB．

人气：224 ℃　时间：2020-05-20 23:06:55

解答

（I）因为圆心C在直线y=-2x上，可设圆心为C（a，-2a）．
则点C到直线x+y=1的距离d′=

|a−2a−1|

|a+1|

据题意，d′=|AC|，则

|a+1|

=（a-2）²+（-2a+1）²，
∴a²-2a+1=0
∴a=1．
∴圆心为C（1，-2），半径r=d=2，
∴所求圆的方程是（x-1）²+（ y+2）²=2
（II）圆心（1，-2）到直线3x+4y=0的距离d=

|3−8|

＝1，半径r=

，
故弦长为|AB|=2

r2−d2

=2，