f(x)=x^3-3x+1
因为f'(x)=3x^2-3,当x∈(0,1)时,f'(x)<0.f(x)为单减函数.
且,f(0)=1,f(1)=-1
所以f(x)=0在[0,1]上仅有一根,不可能有两根,证毕.
此题也可用反证法.
设有0≤x1x1^3-3x1+1=x2^3-3x2+1
x1^3-x2^3-3(x1-x2)=0
(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2-3)=0
因为x1-x2≠0,且x1^2+x1x2+x2^2<3
所以矛盾,即不可能有两个不同的根