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向量组证明,用秩
已知n维向量α1,α2,α3线性无关.若β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)(C).证明|C|不等于0为β1,β2,β3线性无关充要条件.
人气:395 ℃ 时间:2020-07-03 03:09:34
解答
必要性:
因为|C|≠0 所以 C可逆
所以 r(β1,β2,β3)=r[(α1,α2,α3)(C)] = r(α1,α2,α3) = 3
所以 β1,β2,β3线性无关
充分性:
已知 β1,β2,β3线性无关
所以 齐次线性方程组 (β1,β2,β3)X=0 只有零解
所以 (α1,α2,α3)CX = 0 只有零解
而 α1,α2,α3 线性无关, (α1,α2,α3)X=0 只有零解
所以 CX=0 只有零解
所以 r(C)=3
所以 |C| ≠0用的是向量组等价则秩相同
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