好幸运,正好这学期才学的~帮你打一遍老师的笔记咯~这两个是重点区分对象呢,
1.a number of 一些
修饰可数名词,就像some ,many,lots of,a lot of那样的.注意a number of修饰的可数名词要用复数形式,be动词也要用复数（即are,具体因时态而定）!
可以变成a small/large/great number of
a small number of=some
a large number of=many
e.g.A large number of students are ill these days because of the swine flu.
这些天我们班的许多学生都因为猪流感而病了.(翻译系本人友情提供!）
2.the number of ……的数量
修饰了名词之后be动词要用单数,因为（从中文意思方面理解）数量就是一个数字,所以必须要用单数（即is,具体因时态而定).
e.g.The number of the students in our class is 53.
我们班学生的人数（即数量）是53.
也就是说这两个词意思不同,a number of是一些,the number of是……的数量,前者be动词用复数,后者用单数.
祝楼主学习加油,Happy new year!