底面为正方形的四棱锥P-ABCD,PA垂直于底面ABCD,有几对面面垂直,二面角B-PC-D的平面角大小
BD,AC为其对角线
人气:465 ℃ 时间:2020-09-03 13:52:25
解答
有三对面面垂直:
面PAB⊥面ABCD
面PAD⊥面ABCD
面PAB⊥面PAD
二面角B-PC-D的平面角大小 大小不定,与四棱锥的高PA和正方形边长的比值相关.
设PA=h,正方形边长为a
则PB²=h²+a²,PC²=PA²+AC²=h²+2a²
直角三角形PBC斜边PC上的高为x
PB*BC=PC*x
x²=(h²+a²)a²/(h²+2a²)
cos二面角B-PC-D=(x²+x²-BD²)/(2*x*x)=1-(a/x)²
=1-a² * (h²+2a²)/((h²+a²)a²)
=1- (h²+2a²)/(h²+a²)
=1-((h/a)²+2)/((h/a)²+1)
=-1/(1+(h/a)²)
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