在等腰RT三角形ABC中,AB=BC=5,P是三角形ABC内一点,且PA=根号5,PC=5,求PB
我试过将三角形ABC旋转到BC边,连AP',但是不知道如何证明APP'共线.
人气:483 ℃ 时间:2019-08-18 15:07:52
解答
等腰RT三角形ABC中,AB=BC=5,则:∠ACB=∠BAC=45°,且有勾股定理知:AC^2=AB^2+BC^2=25+25=50,所以:AC=5√2
令∠ACP=a<∠ACB=45°
在三角形APC中,有余弦定理知:
AP^2=AC^2+PC^2-2*AC*PC*cosa,代入:
5=50+25-2*5√2*5*cosa,解得:cosa=7√2/10
所以:sina=√[1-(cosa)^2]=√(1-98/100)=√2/10
令∠BCP=β=∠ACB-∠ACP=45°-a
所以:cosβ=cos(45°-a)=cos45°cosa+sin45°sina=(√2/2)*(7√2/10)+(√2/2)*(√2/10)=4/5
在三角形BPC中,有余弦定理知:
PB^2=PC^2+BC^2-2*PC*BC*cosβ,代入:
PB^2=25+25-2*25*4/5=50-40=10
所以:PB=√10有没有其他方法。不需要三角函数来做的三角形不特殊,纵使其他方法也是很麻烦的。证明三点共线很麻烦的,一般不建议证明。只能是连接AP,延长至P‘点,反过来证。
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