在梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90,AB=a,AD=3a,且sin∠ADC=三分之根号三,PA⊥平面ABCD,PA=AB_数学解答

在梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90,AB=a,AD=3a,且sin∠ADC=三分之根号三,PA⊥平面ABCD,PA=AB.
求二面角P-CD-A的大小.

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解答

在纸上按题意作图.
连接PCD,则平面PCD与梯形ABCD相交,其交线为CD.
过P点作PE垂直CD交于E点.
因PA垂直平面ABCD,则平面PAE垂直平面ABCD,故PAE垂直平面PCD.
连接AE,则PA垂直AE,AE垂直CD.
即,角PEA为所求的二面角P-CD-A.
在平面梯形ABCD中的Rt△AED中,AE=AD*sinADE(=角ADC)
AE=3a*根号3/3=根号3a
PA=AB=a (题设）
在平面PAE中,tanPEA=PA/AE=a/(根号3)*a
故,tanPEA=根号3/3 （所求二面角P-CD-A）
答角PEA=30度,即所求二面角P-CD-A=30度）