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设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T;η2
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T(此向量是列向量,后同);η2+η3=(1,2,3,4)T,求该方程组的通解.
分析如下:四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3,那么它对应的齐次线性方程组的解空间是1维的(4-3=1),所以所求的通解形式能够确定了,就是k*a1+a2,其中a1是它对应的齐次线性方程组的一个解,a2是四元非齐次线性方程组的一个特解,因此,求a1,a2即可,求法如下:
η1=(2,5)T,η2+η3=(1,4)T都是原方程的解,所以如果原方程为A*x=b,那么A*2η1=2b,A*(η2+η3)=2b,两式相减,得a1=(3,6)T
而a2即可取η1=(2,5)T,所以通解为k*(3,6)T+(2,5)T
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解答
没错.
通解为齐次方程通解+非齐次方程特解,由于r(A)=3,n-r(A)=1,所以通解为k*(η1+η2+η3)+η1=k*(3,4,5,6)T+(2,3,4,5)T
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