令f(x)=e^x-1- (1+x)ln(1+x)
f(0)=0
f'(x)=e^x- 1-ln(1+x)
f'(0)=0
f''(x)=e^x- 1/(1+x)>0(x>0)
所以
f'(x)是增函数,所以
f'(x)>f'(0)=0(x>0)
从而
f(x)是增函数,所以
f(x)>f(0)(x>0)
即
e^x-1> (1+x)ln(1+x).