a^2+b^2+c^2
=a^2+1/10b^2+9/10b^2+c^2
≥2/√10ab+6/√10bc

(ab+3bc)/a^2+b^2+c^2
≤(ab+3bc)/(2/√10ab+6/√10bc)
=1/(2/√10)
=√10/2

(ab+3bc)/a2+b2+c2最大值√10/2