若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],求该函数的解析式.
人气:286 ℃ 时间:2019-08-21 04:44:40
解答
∵f(x)=(x+a)(bx+2a)是偶函数,
∴f(-x)=(-x+a)(-bx+2a)=f(x)=(x+a)(bx+2a),
∴bx2-2ax-abx+2a2=bx2+2ax+abx+2a2,
∴2ax+abx=0,即ax(2+b)=0恒成立,
∴a=0或2+b=0.
若a=0,则f(x)=bx2,若b>0,值域是y≥0,b<0,值域是y≤0,都不是(-∞,4],
所以a≠0,故b+2=0,
∴b=-2,
所以f(x)=-2x2+2a2,
∵-2x2≤0,
所以值域是f(x)≤2a2,
∴2a2=4,
即f(x)=-2x2+4.
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