已知abc为正实数,且(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0,试证明:c/b=b/a=x
人气:383 ℃ 时间:2019-09-17 13:34:11
解答
∵a,b,c都是正实数,∴ a^2+b^2+c^2=12≥3(abc)^(2/3)
∴abc≤(12/3)^(3/2)=8,当切仅仅当a=b=c=2时等号成立.
故a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥3(8)^(1/3)=6,当且仅仅当a=b=c=2时等号成立.
又由于a^2+b^2≥2ab,于是(a^2+b^2)(a+b)≥2ab(a+b)
即a^3+ab^2+ba^2+b^3≥2ba^2+2ab^2
∴a^3+b^3≥ab(a+b)………(1)
同理
b^3+c^3≥bc(b+c)…………(2)
c^3+a^3≥ac(a+c)…………(3)
(1)+(2)+(3),得:
2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+(bc(b+c)+ac(a+c)
=(a^2)b+ab^2+(b^2)c+bc^2+(a^2)c+ac^2
于是3(a^3+b^3+c^3)≥(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+ab^2+cb^2)+(c^3+ac^2+bc^2)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
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