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数学
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已知关于x的方程
x
2
−(k+1)x+
1
4
k
2
+1=0
的两根是一个矩形两边的长.
(1)k取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是
5
时,求k的值.
人气:237 ℃ 时间:2020-04-10 07:35:58
解答
(1)设方程的两根为x
1
,x
2
则△=(k+1)
2
-4(
1
4
k
2
+1)=2k-3,
∵方程有两个实数根,∴△≥0,即2k-3≥0,①
k+1>0,②
1
4
k
2
>0
③
∴综上可知k≥
3
2
∴当k≥
3
2
,方程有两个正实数根.
(2)由题意得:
x
1
+
x
2
=k+1
x
1
x
2
=
1
4
k
2
+1
,
又∵x
1
2
+x
2
2
=5,即(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
=5,
(k+1)
2
-2(
1
4
k
2
+1)=5,
整理得k
2
+4k-12=0,
解得k=2或k=-6(舍去),
∴k的值为2.
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