已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)为偶函数
1 求k的值
2 a≥1时,若方程f(x)=log4(a*2^x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围.
人气:259 ℃ 时间:2019-11-19 12:34:06
解答
先求K,根据f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数,得到f(x)=f(-x)
即 log4(4^x+1)+kx=log4[1/(4^x)+1]-kx 可得出k=-1/2
再 求实数a的取值范围
由f(x)与h(x)图象只有一个公共点 即:y=f(x)-h(x)有且只有一个零点 则log4(4^x+1)+kx=log4(a*2^x-4a/3)
由h(x)定义域有:a*(2^x-4/3)>0,当x>log2(4/3)时,a>0
当x<log2(4/3)时,a<0
下面验证是否只有一个解并求出该
为了使 f(x)=h(x) (为书写简化先设2^x=t )
即 (a-1)t^2-4a/3t-1=0 (*)
为了使 t=2^x 有且只有一个解,(*)中必须满足△=b^2-4ac=0 此时f(x)=h(x) 的唯一解为 t=2^x=-b/(2a)
即 当16/9a^2+4(a-1)=0 时 f(x)=h(x) 有唯一解 得 a1=-3 对应的唯一解为 t=2^x={4a/3} / {2(a-1)}=1/2 也即 x= -1
或者a2=3/4 对应的唯一解为 t=2^x={4a/3} / {2(a-1)}=-2 即 x=log2(-2) 应舍去
综上所述:当且仅当a=-3时,有且只有一个零点,且该解为x= -1
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