1、若切线方程的斜率k存在,设所求切线方程为：y+1=k(x-5) 即：kx-y-5k-1=0
由题知圆心为(0,0) 半径=5 ,当圆心(0,0)到直线kx-y-5k-1=0的距离=5时,直线必与圆相切
所以,∥-5k-1∥/√(1+k²)=5 ,
解之,得：k=12/5
所以,所求切线方程为：y=(12/5)x-13 即：(12/5)x-y-13=0
2、若切线方程的斜率k不存在,过点（5,-1）的直线方程为：x=5
显然,x=5 也与圆x²+y²=25相切于点(5,0)
所以,过点(5,-1)和圆x²+y²=25相切的方程由两个,即：(12/5)x-y-13=0 和 x=5那用法向量 怎么做呢？设所求切线上任一动点P(x, y) ,点A(5,-1)O(0,0)切点B(x0,y0)则，向量AP=(x-5,y+1)向量OB=(x0 ,y0) 由题知：向量AP与向量OB垂直 所以，向量AP*向量OB垂直=x0(x-5)+y0(y+1)=0------------(1)同理，向量BP与向量OB垂直所以，向量BP*向量OB垂直=x0(x-x0)+y0(y-y0)=0-----------(2)又因为，(x0)²+(y0)²=25---------------------------（3） 解(1) (2) (3)联立方程得：x0=5,或 x0=60/13 代入y0=5x0-25 得：y0=0 或 y0=-25/13 再将它们分别代入(1) 得切线方程：x=5, 和 (12/5)x-y-13=0