①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDPE是正方形，
则CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，
∴AB=

12+12

=

2

，
∴AP=

2

；
∴在直角△AEP中，（1+EC）²+EP²=AP²
∴（1+DP）²+DP²=（

2

）²，
解得，DP=

3 −1

2

；
②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC-1）²+EP²=AP²，
∴（PD-1）²+PD²=（

2

）²，
解得，PD=

3 +1

2

；
故选D．