不是病句.这是一个兼语式句子.
人与山的关系日益密切（主谓句充当整个句子的主语）
使（谓语）
我们（兼语——前面的宾语兼作后边的主语）
感到（动补结构作谓语）
亲切与舒服（名词化的形容词作宾语）
这句话中,“使”字能充当谓语.在其他句子中“使”字也能充当谓语.例如：
他的话使我明白了一个道理.
我会使你幸福的.