证明：

x

＞lnx等价于

x

−lnx＞0
设函数f(x)＝

x

−lnx(x＞0)，
则f′(x)＝

1

2

×

1

x

−

1

x

＝

x −2

2x

，
令f'（x）=0，解得x=4，
当x＞4时，f'（x）＞0，
当x＜4时，f'（x）＜0，
∴当x=4，f（x）取得极小值，
∴f（x）的单调递增区间是[4，+∞），
f（x）≥f（4）．
又当x=4时，f（x）=f（4）=2-ln4＞0
∴x≥4时，f（x）＞0，
即

x

−lnx＞0，
∴

x

＞lnx成立．