已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(根号3,0).
若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点(0,-1),求实数m的取值范围
人气:143 ℃ 时间:2019-08-19 13:55:40
解答
∵c=2,a=√3
∴双曲线方程为x²/3-y²=1
设
CD的斜率=k,则垂直平分线的斜率=-1/k,
设C、D两点为(x1,y1),(x2,y2),设CD中点M为(a,b),
设平分线为L:y=-x/k+b2
因L经过(0,-1)
得b2=-1
L为y=-x/k-1
因(x12-x22)/3=(y12+1)-(y22+1)
=>(x1+x2)/3(y1+y2)=(y1-y2)/(x1-x2)=k
则a/3b=k,
又M点也在直线L上则b=-a/k-1(将k=a/3b代入)
得b=-1/4,k=-4a/3
显然M点也在直线y=kx+m上,则b=ka+m
则-1/4=-3k2/4+m
3k2=4m+1
将y=kx+m代入双曲线方程消去y
x2/3-k2x2-2kmx-m2-1=0要使方程有两实根
则4m2k2-4(-m2-1)(1/3-k2)>0
=>m2/3-k2+1/3>0
=>m2+1>3k2=4m+1
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