函数f(x)=2ax²＋2x－3－a在区间[－1,1]上有零点,即方程f(x)=0在区间[－1,1]内有根.
【方法一】
1、若a=0,此时方程是2x－3=0,x=3/2,此根不在已知区间内,不合；
2、若a≠0,此时f(x)是二次函数,则可以根据二次函数的图像来研究a的取值范围.
【注】此法比较复杂,尤其是当a≠0时的讨论比较复杂,因为此时还需要研究在区间内是一个根还是两个根,另外还要看这个根也许还会取到1或－1的情况.
【方法二】
系数分离
方程2ax²＋2x－3－a=0有根,即(2x²－1)a=3－2x在区间[－1,1]内有根,此时,由于字母a的系数是2x²－1,在系数分离时还是需要两边除以2x²－1,因x∈[－1,1]时,2x²－1还是有可能是0的,故还是需要讨论.这种解法相当于求函数值域.
【方法三】
考虑问题的反面,即：函数在[－1,1]内没有零点,由于a≠0是不满足的,则这个函数必定的二次函数,即二次函数在区间[－1,1]内没有零点,考虑到这个函数的对称轴是x=－1/a,则：
1、若－1/a在区间左侧,此时只需要f(－1)×f(1)>0；
2、若－1/a在区间内,则需要判别式△0
三种方法比较下,我个人倾向于方法三.