设f(n)=(1+i/1-i)^2n+(1-i/1+i)2^n (n∈N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是_数学解答

设f(n)=(1+i/1-i)^2n+(1-i/1+i)2^n (n∈N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是

人气：111 ℃　时间：2020-04-18 08:28:27

解答

f(n)=[(1+i)/(1-i)]^2n+[(1-i)/(1+i)]^2n
=[(1+i)^2/(1-i)^2]^n+[(1-i)^2/(1+i)^2]^n
=[2i/(-2i)]^n+[-2i/(2i)]^n
=(-1)^n+(-1)^n
=2*(-1)^n
因n∈N,故当n=0时,f(0)=2；当n为奇数时,f(2k-1)=-2；当n为偶数时,f(2k)=2,k∈N
故集合{x|x=f(n)}中元素的个数是2个（包括2和-2两个元素）.