（1）对称轴x=-a
①当-a≤0⇒a≥0时，
f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=-a-1…（1分）
②当-a≥2⇒a≤-2时，
f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…（1分）
③当0＜-a＜2⇒-2＜a＜0时，
f（x）在[0，2]上是不单调，x=-a时有最小值f（-a）=-a²-a-1…（2分）
∴，g(a)＝

−a−1 −a2−a 3a+3

a≥0 −1 −2＜a＜0 a≤−2

…（2分）
（2）存在，
由题知g（a）在(−∞，−

1

2

]是增函数，在[−

1

2

，+∞)是减函数
∴a＝−

1

2

时，g(a)max＝−

3

4

，…（2分）
g（a）-m≤0恒成立
⇒g（a）_max≤m，
∴m≥−

3

4

…（2分），
∵m为整数，
∴m的最小值为0…（1分）