如何用简单几何求出正四面体两顶点与中心的夹角?设空间正四面体为A-BCD,中心为P (AP=BP=CP=DP).则角APB=?/*_数学解答

如何用简单几何求出正四面体两顶点与中心的夹角?
设空间正四面体为A-BCD,中心为P (AP=BP=CP=DP).则角APB=?/*记得化学书上说,CH4就是正四面体结构,它的C-H键之间的夹角为109.5度.*/ 想知道怎么用简单的空间几何知识来计算角APB(别用向量和坐标系,可以用三角函数及一些基本定理.不然我也不会提出此问题了),过程可以不用太详细(详细点也好),思路要清晰.

人气：456 ℃　时间：2020-02-05 19:13:10

解答

中心p在底面高线的交点O与顶点的连线上（能证明）设正四面体边为a底面又是等边三角形,底边上的一条高可算出,高线的交点位于高与三角形顶点的2/3处能算出OB的长,勾股定理得AO的长,设AP=x则
OB^2+(AO-X)^2=X^2
另外余弦定理：a^2=x^2+x^2-2x*x*cosAPB
可解出cosAPB=-1/3
好像就是109.5度