这个得画图啊：
设向量OA=（a,b）,向量AB=（c,d）
由于选择的是同一基底,所以：（坐标）
点A（a,b）,B（a-c,b+d）
现在咱们来考虑一下数量积的原始定义：
（定义在x轴上的）：ax=|a|cos·|b|cos
所以在y轴上也有ay=|a|cos·|b|cos
∴坐标系内的向量积分为2部分相加：a·b=|a|cos·|b|cos+|a|cos·|b|cos
=a·c+b·d
∴(a,b)·(c,d)=ac+bd
原定理可证.
另外,由此定理还可判断垂直、相等等情况.
此法纯属自己想出来的,不是查资料的.