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用数列的极限证明,当n趋向于正无穷大时,(3n+1)/(4n-1)趋向于3/4.
请用数列的极限的定义证明,
人气:329 ℃ 时间:2020-01-04 00:31:17
解答
(3n+1)/(4n-1)
=(3n-3/4+7/4)/(4n-1)
=3/4+7/4(4n-1)
所以当n趋向于无穷大时,4n-1趋向于无穷大,即7/4(n-1)趋向于0
所以极限为3/4
证明:
① 对任意 ε>0 ,
要使 |(3n+1)/(4n-1) - 3/4| < ε 成立,
即只要满足:||(3n+1)/(4n-1) - 3/4|=|7/4(4n-1)|< 7/(n-1) < ε,
即只要:n > 1+7/ε 即可.
② 故存在 N = [1+7/ε] ∈N
③ 当 n>N 时,
④ 恒有:|(3n+1)/(4n-1) - 3/4| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (3n+1)/(4n-1)= 3/4
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