负数是怎样产生的?
中国是世界上首先使用负数的国家．战国时期李悝（约前455～395）在《法经》中已出现使用负数的实例：“衣五人终岁用千五百不足四百五十．”在甘肃居延出土的汉简中,出现了大量的“负算”,如“相除以负百二十四算”、“负二千二百四十五算”、“负四算,得七算,相除得三算”．以负与得相比较,表示缺少,亏空之意,显然来自生活实践的需要．
从历史上看,负数产生的另一个原因是由于解方程的需要．据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载,由于在解方程组的时候常常会碰到小数减大数的情况,为了使方程组能够解下去,数学家发明了负数．公元前3世纪刘徽在注解《九章算术》时率先给出了负数的定义：“两算得矢相反,要以正负以名之”,并辩证地阐明：“言负者未必少,言正者未必正于多．”而西方直到1572年,意大利数学家邦贝利（R．Bombelli,1526～1572）在他的《代数学》中才给出了负数的明确定义．
由于我国古代数字是用算筹摆出来的,为了区分正数和负数,古代数学家创造了两种方法：一种是用不同颜色的算筹分别表示,通常用红筹表示正数,黑筹表示负数；另一种是采取在正数上面斜放一支筹,来表示负数．因为后者的思想较新,很快发展为在数的最前面一位数码上斜放一小横来表示负数．1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔（A．Girard,1595～1632）在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算,吉拉尔的负数符号得到人们的公认,一直沿用至今．
刘徽在注解《九章算术》“方程”章时给出了正负数的加减法则：“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之”“异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之”．遗憾的是他未能像正负数的加减运算那样,总结出正负数乘除运算的一般法则,而是通过具体的例子予以处理．正负数的乘除法则直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载：“同名相乘为正,异名相乘为负,同名相除所得为正,异名相除所得为负．”
印度最早使用负数的是婆罗摩芨多（Brahmagupta,598～665）,他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则,认为负数就是负债和损失,并用小点或小圈标在数字上面表示负数．
西方首先使用负数的是古希腊的丢番图（Diophantus,250年前后）,尽管不承认方程的负根,但他已知道“减数乘减数得加数,加数乘减数得减数”．可见对正负数的四则运算他已了如指掌．在解方程中若出现负根,他就放弃这个方程,认为是不可解的．从这可看出负数在西方备受冷落,久久得不到人们的认可．1484年,法国的舒开在《算术三篇》中曾给出二次方程的一个负根,却又不承认它,说它是荒谬的数；意大利学者卡丹在《大术》中承认负根,但认为负数是“假数”．直到1637年笛卡尔（Descarts,1596～1650）在《几何》中认真考虑了方程正负根出现的规律,未加证明地给出了正负号法则,此后才被采用,但依旧议论纷纷．如法国数学家阿纳德（1612～1694）认为：若承认－1∶1＝1∶－1,而－1＜1,那么较小数与较大数的比,怎能等于较大数与较小数之比呢?直到1831年,英国著名数学家德摩根（A．DeMorgan,1806～1871）在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的．他举例说：“父亲活56,他的儿子29岁,问什么时候,父亲的岁数将是儿子的2倍?”解方程56＋x＝2（29＋x）,得x＝－2,他说这个结果是荒谬的．
负数的地位最后是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的．1860年维尔斯在柏林大学的一次讲课时,把有理数定义为整数对,即当m,n为整数时,n／m（m≠0）定义为一个有理数,当m,n中有一个为负整数时,就得到一个负有理数．这就把负数的基础确立在整数基础上．40年后,皮亚诺在著名的《算术原理新方法》（1889）中又用自然数确立了整数的地位：设a,b为自然数,则数对（a,b）即“a－b”定义一个整数,当a＞b时为正整数；a＜b时就得到了一个负整数．至此,通过近2000年的努力,历经数十代数学家的前仆后继的工作和努力,负数的地位终于被牢固地确立了,半个多世纪的争论也终于降下了帷幕．