如图,已知圆内接四边形abcd对角线ac,bd交于点e,点f在对角线ac上
如图,已知圆内接四边形abcd对角线ac、bd交于点e,点f在对角线ac上,且满足角adf=角cde,角abf=角cbe,若bf=a,df=b,请用含a、b的代数式表示ac的长
人气:313 ℃ 时间:2019-10-19 21:43:35
解答
∵ABCD为圆内接四边形 【已知】
∴∠BAC=∠BDC,∠CBD=∠CAD 【相同圆弧所对的同侧圆圆周角相等】
即:∠BAF=∠CDE,∠CBE=∠FAD
又:∠ADF=∠CDE,∠ABF=∠CBE 【已知】
∴∠BAF=∠ADF,∠FAD=∠ABF
又:△ABF∽△DAF 【两对应角相等,三角形相似】
∴AF/DF=BF/AF 【相似三角形对应边成比例】
即:AF²=BF×DF=a×b
AF=√(a×b)
∵∠ABD=∠ABF+∠FBD,∠FBC=∠CBE+∠FBD
又:∠ABF=∠CBE 【已知】
∴∠ABD=∠FBC
又:ABCD为圆内接四边形 【已知】
∴∠ABD=∠ACD 【相同圆弧所对的同侧圆圆周角相等】
∴∠FBC=∠ACD
即:∠FBC=∠FCD
同理:∠FDC=∠FCA
∴△FBC∽△FCD 【两对应角相等,三角形相似】
∴FA/FC=FC/FD 【相似三角形对应边成比例】
∴FC²=FA×FD=a×b
FC=√(a×b)
∴AC=AF+FC=2√(a×b)
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