已知an=(n+1)²分之一(n=1,2,3,...),记b1=2(1-a),b2=2(1-a)(1-a),...,bn_数学解答

已知an=(n+1)²分之一(n=1,2,3,...),记b1=2(1-a),b2=2(1-a)(1-a),...,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),
则通过计算推测出bn的表达式bn=（?）（用含n的代数式表示）（最好符号标准一点过程详细我其他地方的看过了但看不懂

人气：146 ℃　时间：2020-05-11 11:31:33

解答

由an=1/(1+n)^2,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),两式
可以推得：b1=3/4,b2=4/6,b3=5/8,b4=6/10
.可以推算bn=（n+2）/[2（n+1）]
证明：前面略
当k=n时,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an)=（n+2）/[2（n+1）]
当k=n+1时,bn+1=2(1-a1)(1-a2)...(1-an)*（1-an+1）
=（n+2）/[2（n+1）]*[1-1/（n+2）^2]
=[(n+2)^2-1]/(2n+2)(n+2)
=(n+2-1)(n+2+1)/(2n+2)(n+2)
=(n+1)(n+3)/(2n+2)(n+2)
=（n+3）/2(n+2)
也就是当k=n+1时,bn+1=（n+3）/2(n+2)成立
所以原猜想成立
所以bn=（n+2）/[2（n+1）]